约数个数定理

对于一个数a可以分解质因数:a=a1的r1次方乘以a2的r2次方乘以a3的r3次方乘以……则a的约数的个数就是(r1+1)(r2+1)(r3+1)……
  需要指出来的是,a1,a2,a3……都是a的质因数。r1,r2,r3……是a1,a2,a3……的指数。

例题
  有一个面积为378000平方米的长方形,其周长最多可有几种不同的数值?
  解:378000=2^4×3^3×5^3×7
  共有约数(4+1)×(3+1)×(3+1)×(1+1)=160个。
  所以周长有160÷2=80个不同的值。

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    先把整数N分解成标准分解式 :
      N=[(p1)^a1]×[(p2)^a2]×[(p3)^a2]×…×[(pn)^an], (n≥1)
      如12=(2^2)×(3^1)

      则N的正约数的个数T是:
    T=(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(an+1)
      如12=(2^2)×(3^1),T=(2+1)(1+1)=6
      也就是12有6个约数。

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一个自然数恰好有18个约数,那么它最多有多少个约数的个位是3.

答案:9

由约数个数定理,18=(1+1)×(8+1)=(1+1)×(2+1)×(2+1)=(2+1)×(5+1),1×3的尾数是1,所以18=(1+1)×(8+1)的情况最符合题意,18个约数必存在两两对应:一个×另一个=原数,所以如果一个个位是3,另一个必然不是,18/2=9,构造一个3×11^8

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  我们先来考察一个例子.

  72有几个约数?

  用“两边夹”的方法可以找出它的全部约数:

  1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72

  共是12个.

  再把72分解质因数:

  72=2×2×2×3×3=2^3×3^2.

  显然

  2^0,2^1,2^2,2^3

  和

  3^0,3^1,3^2

  是72的约数.由这两组约数中的任意两个约数的乘积当然也是72的约数.即



  一一写出来就是:

  2^0×3^0=1×1=1,

  2^0×3^1=1×3=3,

  2^0×3^2=1×9=9;

  2^1×3^0=2×1=2,

  2^1×3^1=2×3=6,

  2^1×3^2=2×9=18;

  2^2×3^0=4×1=4,

  2^2×3^1=4×3=12,

  2^2×3^2=4×9=36;

  2^3×3^0=8×1=8,

  2^3×3^1=8×3=24,

  2^3×3^2=8×9=72.

  有趣的是,按照这种方式得到的约数,正好得到了72的所有12个约数.不是吗?  再细心观察两个例子,也许我们聪明的读者就会发现规律了.

  合数:1000.

  分解质因数:

  1000=2×2×2×5×5×5=2^3×5^3.

  找约数:



  约数的个数是:

  (3+1)×(3+1)=16(个).

  合数:49000.

  分解质因数:

  49000=2×2×2×5×5×5×7×7=2^3×5^3×7^2

  找约数:



  约数的个数:

  (3+1)×(3+1)×(2+1)=48(个).

  有规律吗?

  如果合数B分解质因数后是:

  B=a^m×b^n×c^p×……

  其中a、b、c……均为质数,m、n、p……均为自然数.那么,这个合数的约数个数有多少呢?

  【规律】

  如果合数B分解质因数后是:

  B=a^m×b^n×c^p×……

  那么,它的约数个数有(m+1)×(n+1)×(p+1)×……(个).

  【练习】

  1.下面是一些合数分解质因数后的情形.请求出这些合数的约数个数.

  2^2×3^3,2^4×5^2,

  3^3×5^4,2^2×3^3×5^4,

  2^10×3^100×5^1000,13^10×17^100×19^1000,

  2×3×5×7×11,2^1×3^2×5^3×7^4×11^5.

  2.求出下面每个合数的约数个数.

  144 128 1600 360 4580

  3.(1)分母是1000的最简真分数共有多少个?

  (2)分子是1001的最简假分数共有多少个?

  4.(1)写出一个不同的合数,但跟22×33有一样多约数个数.

  (2)写出一个也只含有质因数2和3的合数,且跟22×32含有的约数个数同样多.

  5.面积是480平方厘米,长和宽都是自然数的长方形共有多少个?

数学 2009-03-08 00:10:36 通过 网页 浏览(941) 打印

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